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안녕하세요. 정기 포스팅을 차일피일 미루다 결국 2014년 마지막 날이 되어서 부랴부랴 작성 중인 독거노인입니다.

 

다들 크리스마스엔 즐거운 추억 만드셨나요? 12.25일은 3.5의 제곱입니다. 하필 제곱수가 되는 날에 태어나신 걸 보면 예수님도 수학에 관심이 많은 게 아닐까 추측해봅니다. 단순히 외워서 소인수분해는 재미도 없고 감동도 없지만 제곱수 정도는 외워놓으면 효과적으로 쓰이는 경우가 많습니다. 크리스마스 이브는 어떨까요? 중학교 때 배운 합차공식을 이용하면 1224 = (35X35) - 1 =  34 X 36 이란 걸 알 수 있습니다. 이러한 인수분해의 기본공식들도 가끔씩은 소인수분해에 도움을 주곤 한답니다.  크리스마스에 즐거운 추억 어쩌고 하더니 기승전소인수분해가 되었군요. 저는 필명에 맞게 딱히 즐거운 추억을 만들지는 못하였습니다. 하긴 뭐 제 생일도 아닌데요.

 

사족이 길어지는 것 같지만 오늘 얘기할 내용에 앞서 두 가지만 먼저 얘기드리고자 합니다.

 

첫째로 대학원 총학생회에서 보낸 홍보메일에 "보이는 모든 수를 소인수분해한다는 독특한 취미만큼이나 ~" 라는 문구가 있는데 이는 다소 과장된 표현입니다. 저 표현은 제 지인이 저를 능력자 K에 추천하면서 사용한 표현이라서 홍보하시는 분의 잘못은 아니겠지만 사실 모든 수를 소인수분해하지는 못합니다. 가끔 계좌번호나 주민등록번호처럼 6~7자리 숫자에 도전하는 경우는 있습니다. 예를 들면 저의 동아리 후배 이X태 군의 계좌번호 뒷자리는 894145인데, 첫번째 포스팅을 올린 뒤 있었던 술자리에서 시키길래 5 X 7 X 59 X 433 로 분해한 적은 있습니다. 하지만 이건 어느정도 분해가 되기 때문에 가능한 일이고 4자리 소수 두 개의 곱으로 만들어진 숫자를 분해한다던지 7자리 숫자가 소수인 걸 판별한다던지 하는 건 개인적으로 불가능해보입니다. 자리수가 8을 넘어가면 사실 시도도 잘 하지 않습니다.

 

굳이 이런 해명을 드리는 이유는 아무래도 이 글을 읽으시는 분들 중에서는 수학에 관심이 있으신 분들이 많을 텐데 그런 분들에게 "보이는 모든 수를 소인수분해한다" 라는 표현이 불편할 수 있을 것 같아서입니다. 제 전공은 정수론이 아니라 자세히는 모르지만 소수는 대수학과 정수론 및 암호학에서 매우 중요한 역할을 하는 걸로 알고 있습니다. 그 쪽을 공부하시는 분들에게 "보이는 모든 수를 소인수분해한다" 라는 표현은 비전공자의 허풍처럼 느껴질 심산이 큽니다. 저만 해도 다른 누군가가 저런 표현을 사용한다면 좋게 받아들여지지는 않을 것 같으며 그러다보니  저 역시도 거부감이 드네요.는 평소에 4자리 수를 곧잘 소인수분해하며 가끔 5~7자리 숫자를 소인수분해하는 정도의 소인수분해가라고 생각해주시면 감사하겠습니다.

 

두번째가 중요한데 첫번째 글에 달린 리플에 대해 추가 해명하자면, 저는 절대로 소인수분해로 여자에게 고백을 시도한 적이 없습니다. 소인수분해를 잘하냐 여자 꼬시는 걸 잘하냐 라고 물어보면 할 말은 없지만 그렇다고 그 두 가지를 접목시키려는 시도를 한 적은 없습니다. 노파심에서 말씀드리지만 여러분이 이 글을 읽고 피나는 연습 끝에 소인수분해를 잘하게 되더라도 그런 쪽으로의 보상을 바라시면 안 됩니다. 단언코 소인수분해와 연애 사이에는 어떠한 상관관계도 없음을 알려드립니다.

 

길고 긴 서론이 끝났으니 이제 본론으로 넘어가도록 하겠습니다. 오늘은 배수판별법이 존재하는 소수들에 대한 얘기를 하고자 합니다. 배수 판별법이 잘 알려져 있는 소수들은 2,3,5,11 정도이며 잘 알려져 있지는 않지만 7,13,37 과 같은 숫자들의 배수판별법이 있는데 이는  특히 4자리 숫자들에 대하여 유용하게 사용됩니다. 이 외의 소수들에서도 배수판별법이 있는 소수들이 있지만 크게 효율적이라는 생각이 들지 않아서 잘 사용하지는 않습니다.

 

먼저 가장 쉬운 2와 5의 배수판별법에 대해 말씀드리겠습니다. 일의 자리 숫자가 짝수면 2의 배수이고 일의 자리 숫자가 0 또는 5이면 5의 배수입니다. 우리가 10진법을 사용하기 때문에 2와 5의 경우에는 이러한 배수판별법이 존재합니다. 좀 더 확장하면 끝의 두자리가 4의 배수이면 4의 배수, 끝의 두 자리가 25의 배수이면 25의 배수가 됩니다. 계속 확장하면 끝의 세자리가 8의 배수이면 8의 배수, 끝의 세자리가 125의 배수이면 125의 배수가 되겠죠.

 

활용법에 대해서 좀 더 얘기드리겠습니다. 2의 경우는 나눠질 확률이 높기 때문에 2로 몇 번이나 나눠지는지를 계산하는게 중요한데  뒤에 두 자리가 4의 배수인지는 판별하기 쉽지만 뒤에 세 자리가 8의 배수인지 알기는 상대적으로 더 어렵습니다. 뒤에 네 자리가 16의 배수인지 아는 건 더 어렵겠죠.  따라서 자리수를 하나 줄여서 판별하는 방법을 알려드리겠습니다. 3자리를 예로 들자면 뒤의 2자리가 8의 배수이면서 백의 자리 숫자가 짝수이거나  뒤의 2자리가 4의 배수지만 8의 배수는 아니면서 백의 자리가 홀수이면 전체가 8의 배수가 됩니다. 예를 들면 928 448 같은 경우는 8의 배수가 되고 948 428 같은 경우엔 8의 배수가 안되는 거죠.

 

5의 경우엔 두자리 25의 배수와 세자리 125의 배수가 몇개 안되기 때문에 뒤의 2자리가 25의 배수인지 뒤의 3자리가 125의 배수인지 판별하는 것은 어렵지 않습니다. 이 경우에는 얼마나 빨리 나눌 수 있느냐가 중요한데, 팁을 드리자면 25를 나누는 것보다는 4를 곱하는 편이, 125를 나누는 것보다는 8을 곱하는 편이 계산하기 더 편합니다. 6375를 125로 나누는 것보다는 6.375에 8을 곱해서 51을 계산하는 게 더 편합니다. 참고로 6.375에 8을 곱하는 건 6 X 8 = 48 을 계산하고 0.375 가 3/8 인걸 이용하여 0.375 X 8 = 3 을 따로 계산해서 합쳐주는 방법을 사용합니다.0.25, 0.75에 4를 곱하면 얼마인지 0.125, 0.375, 0.625, 0.875 에 8을 곱하면 얼마가 나오는지 각자 계산해보고 추후에 활용하시면 좋을 것 같습니다.

 

다음은  3과 9의 배수판별법에 대해서 알려드리겠습니다. 사실 3과 9가 가장 할 말이 없는데,  각 자리 수의 합이 3의 배수이면 3의 배수이고 각 자리 수의 합이 9의 배수이면 9의 배수입니다. 아쉽게도 추가적인 팁이나 활용방안은 없네요. 하지만 그만큼 쉬운 경우이기도 합니다.

 

마지막으로 7과 11과 13의 배수판별법을 묶어서 얘기하겠습니다. 4자리수에 한해서 말씀드리면  천의 자리숫자를 뒤의 세자리 숫자에서 뺀 뒤 남은 숫자가 7 또는 11 또는 13의 배수이면 원래 숫자도 7 또는 11 또는 13의 배수가 됩니다. 예를 들어 2184를 보면 184 - 2 = 182 를 계산합니다. 182 는 7의 배수이면서 13의 배수이기 때문에 원래 숫자는 7의 배수이며 13의 배수가 됩니다. 반면 182는 11의 배수가 아니기 때문에 원래숫자도 11의 배수는 아니게 됩니다. 이 방법을 사용하면  2184가 7과 13의 배수라는 걸 알 수 있습니다.

 

이제 2184를 7과 13으로 나눌 차례인데 이는 순차적으로 나누는 것보다는 7 과 13의 곱인 91로 한 방에 나누는 편이 쉽습니다. 2184를 91로 나누면 24라는 걸 계산할 수가 있는데 이건 실제로 나누는 것 보다는 앞자리수를 2로 맞추고 뒷자리 수를 4로 맞춰서 24를 유추해 내는 편이 좋습니다. 91에 30을 곱하면 2184를 넘어버리고 20을 곱하면 2000보다 작기 때문에 10의 자리는 2라는 추론을, 일의 자리숫자는 91과 곱해서 4가 나와야 하니까 4라는 추론을 통하여 실제로 나누지 않고서도 24라는 몫을 구할 수 있는 것이지요.  따라서 2184 = 2^3 X 3 X 7 X 13  이 됩니다.

 

2,3,5,9의 경우와는 달리 7,11,13 의 배수판별법은 4자리수를 3자리 숫자로 줄여줄 뿐입니다. 하지만 자리수가 하나 줄어드는 건 소인수분해를 하는 데 있어서 상당히 큽니다. 꾸준한 수행을 통해 세 자리 숫자는 보자마자 7,11,13 의 배수인지 아닌지 판별할 수 있는 경지에 오르면 호랑이가 날개를 단 듯이 여러분의 소인수분해 실력은 향상될 것입니다.

 

저 같은 경우에는 습관적으로 2,3,5 의 배수판별법보다 7,11,13의 배수판별법을 먼저 사용합니다. 왜냐면 세 가지 소수에 대해서 한 번에 판별이 가능하고 일단 7,11,13 중에 약수가 있으면 바로 나눠줘서 4자리 숫자를  3자리 숫자로 줄일 수 있기 때문입니다. 하지만 어떤 걸 먼저 쓰는 게 무조건 좋다라고 얘기할 수는 없는 것 같습니다.

 

여기까지 여러분은 저와 함께 2.3.5.7,9,11,13 의 배수판별법을 살펴보았습니다. 81%의 숫자들은 이 배수판별법을 통하여 약수를 찾을 수 있지만 나머지 19%의 숫자들은 2,3,5,7,9,11,13 중에 어떤 수로도 나눠지지 않습니다. 다음 글에서는 배수판별법이 없는 17,19,23,.. 등의 소수들에 대해서는 어떤 식으로 배수인지 아닌지를 빠르게 판별할 수 있을지에 대해서 적어보고자 합니다. 쓸데없는 서론이 길어져서 분량 조절이 실패한 듯도 하네요.

 

그럼 다음 글로 찾아뵙겠습니다. 새해 복 많이들 받으세요~

 

p.s)  개인적으로 귀엽다고 생각한 강아지체에 대한 비난이 많아서 글씨체를 바꿧습니다. 글씨체 추천 해주시면 감사하겠습니다.  

 

  • ?
    올드보이즈 2015.01.01 21:00 0/0
    소인수분해+ '강아지'체를 귀엽다고 생각하는 독거노인님이... 궁금해집니다!
    아. 이번글도 재밌고 유익하게 잘봤습니다ㅋㅋ
  • ?
    독거노인 2015.01.05 21:12 0/0
    재미있게 읽어주셔서 감사합니다. 답례로 6279라는 숫자를 드리니 한 번 소인수분해 해보시기 바랍니다.

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